Variance et écart-type

Définitions
Soit \(p\) un entier naturel non nul et \(i\) un entier naturel compris entre 1 et \(p\).
On considère la série statistique donnée par le tableau suivant.

\(\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline\text{Valeur } \ x_i & x_1 & x_2 & \dots & x_p\\ \hline\text{Effectif} \ n_i& n_1 & n_2 & \dots & n_p\\ \hline\end{array}\)

On note \(N\) l'effectif total et \(m\) la moyenne de cette série statistique.

• La variance d'une série statistique est le réel positif défini par : 

\(\boxed{{V}=\dfrac{1}{N}\sum_{k=0}^p n_k(x_k-m)^2 = \dfrac{n_1(x_1-m)^2+n_2(x_2-m)^2+\cdots + n_p(x_p-m)^2}{N} }\)

• L'écart-type est le nombre réel positif défini par : \(\boxed{\sigma=\sqrt{V}}\)
  

Interprétation
La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne.
Pour mesurer la dispersion des valeurs de la série statistique autour de la moyenne, on considère la racine carrée de la variance qui est l'écart-type \(\sigma\).
Plus l'écart-type est petit, plus les valeurs de la série statistique sont proches de la moyenne.
Plus l'écart-type est grand, plus les valeurs de la série statistique sont dispersées autour de la moyenne.

Exemple
On considère la série statistique suivante, représentant les notes obtenues par Nathan sur le trimestre : 
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{Note} & 12 & 14,5& 8,5 & 17 & 11 \\ \hline\text{Coefficient} & 2 & 1 & 3 & 2 &4 \\ \hline\end{array}\)
L'effectif total est \(N=12\).
La  moyenne est  \(\overline{x}=\dfrac{71}{6}\approx 11,83\) arrondi au centième près.
On calcule \(V=\dfrac{2\times \left(12- \dfrac{71}{6}\right)^2+1\times \left(14,5-\dfrac{71}{6}\right)^2 +3\times \left(8,5-\dfrac{71}{6}\right)^2+2\times \left(17-\dfrac{71}{6}\right)^2+4\times \left(11-\dfrac{71}{6}\right)^2}{12}\)d'où \(V = \dfrac{145}{18}\approx 8,06\) (arrondi au centième près).
Et \(\sigma=\sqrt{V}=\sqrt{\dfrac{145}{18}}=\dfrac{\sqrt{290}}{6}\approx 2,84\) (arrondi au centième près).
Comparaison entre deux élèves
Sur ce même trimestre Leïla a une moyenne de \(11,9\) environ et un écart-type de \(\sigma '=0,8\).
Les moyennes de Nathan et Leïla sont très proches, mais l'écart-type des notes de Leïla est plus petit que celui de Nathan. 
On peut donc en conclure que Leïla est plus régulière dans ses notes que Nathan.